作业帮用极限定义证明2^(1/x)当x趋于0-时的极限为0?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:28:44
用极限定义证明2^(1/x)当x趋于0-时的极限为0?
用极限定义证明2^(1/x)当x趋于0-时的极限为0?
用极限定义证明2^(1/x)当x趋于0-时的极限为0?
当x
任取0< ε < 1, 需证明存在δ, 当x ∈ (-δ, 0)时, |2^(1/x) - 0| < ε (0 < ε < 1)总成立
|2^(1/x) - 0| < ε
2^(1/x) < ε
1/x < log₂ε < 0
-1/x > - log₂ε >0
0 < -x < log₂(1/ε)
即取δ = log₂(1/ε) 即可
证明过程如下：
变形，将2^(1/x)换成e^(1/x*ln2)这个形式，再运用极限的复合运算的性质，具体的就看你自己的补充，希望能帮助到你。嘿嘿
郭敦顒回答：
关于极限的定义，（ε，δ）式的非常做作难懂，还是直接简单点的好，因此先介绍袁萌的文章，给出极限的定义。
合理定义函数的极限，顺应思维的逻辑顺序
作者：袁萌2012-12-2113:26:07发布于：博客中国分类：默
用中文表述就是，当x无限趋向a时（但不等于a)，函数f(x)有极限A，就相当于（或等价于）在无穷小微积分中的如下说法：如果超实数x无限接近...
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郭敦顒回答：
关于极限的定义，（ε，δ）式的非常做作难懂，还是直接简单点的好，因此先介绍袁萌的文章，给出极限的定义。
合理定义函数的极限，顺应思维的逻辑顺序
作者：袁萌2012-12-2113:26:07发布于：博客中国分类：默
用中文表述就是，当x无限趋向a时（但不等于a)，函数f(x)有极限A，就相当于（或等价于）在无穷小微积分中的如下说法：如果超实数x无限接近于但不等于a时，那么，函数值f(x)无限地接近于A。按照这种说法，两个哑巴变元ε，δ都不见了（即不是必要的），思维的逻辑次序也顺当了。
我国是一个伟大的国家，每年都有数百万学生在课堂上接受（ε，δ）洗脑（训练），被弄得疯疯颠颠的（思维颠倒），很是受罪。在美国，有不少人悟出了这个道理，勇敢地放弃了（ε，δ）说教，师生大解放，显得非常轻松自信。“十一五”国家级规划教材《高等数学》，坚守（ε，δ）老套路，拖了国家科技发展（对人才的需求）的后腿，使我们的普通高等教育缺乏新鲜思想与创新活力。我们应该认为，引入超实数*R是数学发展的必由之路，而不是什么个人的喜好（或偏爱）。
说明：昨天，我在短文中把接受《高等数学》（ε，δ）洗脑的学生叫做“小糊涂蛋”，很抱歉。其实，在我的语汇里面，“小糊涂蛋”是一种爱称，没有丝毫贬义。人老了，有时就会犯糊涂，不问人间之是非。
袁萌文章给出的极限定义是：
当x→a（但x≠a）时，函数f(x) →A，则称A是函数f(x)的极限。
（ε，δ）式的极限定义：
设函数f(x)在x0的某邻域内有定义（在点x0处f(x)可以无定义），如果对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于满足不等式0＜|x－x0|＜δ的一切x，都有不等式
| f(x) －A|＜ε
成立，则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限，记为
lim f(x)=A 或 （x→x0）f(x)→A。
按以上定义已有两位网友做了回答，按上定义回答得是正确的，但很难懂，即便懂得了推导过程，但却又极难理解，只是套公式而已，不能给人们以逻辑思维能力的提高。所以我赞同袁萌教授的观点。
对这题做简单证明——
在函数2^(1/x)中，x＜0，∴当x→0时，1/x→－∞，
∴2^(1/x) →2^（－∞），
∴2^(1/x) →0。
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