平面向量分解定理?

平面向量分解定理?
平面向量分解定理?

平面向量分解定理?

看图! 自己画的 有点不好看 额 不好意思啊

如果e1和e2是同一平面上的两个不平行的向量，那么对该平面上的任一向量a，存在惟一的一对实数a1、a2，使a=a1e1+a2e2，其中e1、e2
叫做平面上全体向量的一个基底，e1、e2叫做基向量，a1e1+a2e2叫做e1、e2的线性组合。

8.3平面向量的分解定理
立达中学 翁旭宇
一、教学目标
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归...

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8.3平面向量的分解定理
立达中学 翁旭宇
一、教学目标
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。
二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。
三、教学过程设计
（一）、 设置情景，引入课题
（1）观察
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
下面让我们来看一个实例：
实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2 .

思考：从这个实例我们看到了什么？
答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.
（2）复习正交分解，并抽象为数学模型


（二）、探索探究，主动建构
概括讨论，提出新问题：
如果向量 是同一平面内的两个不平行的向量， 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量 表示向量 ？
数学实验1
实验设计：
(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量 ，对于给定的非零向量 是否能分解成 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？
(2)实验步骤：
a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量 和 ；
b.每个同学先独立作图；
c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.
(3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把 和 的关系表示出来？
生： 是不平行向量， 是平面内给定的向量，在平面内任取一点O
（1）作 ；
（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；
（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；
（4）四边形 为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数 ，使得 ， ，则 .
对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量 是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.
数学实验2
实验设计：
(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.
(2)实验步骤：
a.利用几何画板画出两个不平行向量 ，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；
b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置 ， ， ）
(3)实验报告：
3．探究结果
几何角度：平面内的任一向量 都可以表示为给定的两个不平行向量 的线性组合，即 ，且分解是唯一的.
代数角度：说明唯一性：
说明：（1）当 时，
（2）当 时，假设 ，则有
=
.由于 不平行，故 ，即 .
4．概括得出定理：
平面向量分解定理：如果 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
我们把不平行的向量 叫做这一平面内所有向量的一组基.
注意：
（1）基底不共线；
（2）将任一向量 在给出基底 、 的条件下进行分解；
（3）基底给定时，分解形式唯一， 是被 ， ， 唯一确定的数量
（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.）
（三）．例题分析
例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用 表示 和 .
在平行四边形ABCD中，



，
注：（1）把 作为一组基，用向量 表示平面内的任何一个向量
（2）平行四边形法则简化为三角形法则。
练习：学生完成教材后面练习P67 （2）
思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？
思考题（教材P67．例 3）已知 是不平行的两个向量， 是实数，且 ，用 表示 .


（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理. 对分解定理的理基底 为两个不平行向量，向量 的任意性，实数对 的存在性和唯一性；
（2）从基的角度认识几何图形。
（五）、作业布置
《练习册》P37 A组3，4 ，5 B组2，3

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