作业帮不定积分 ：∫ x^2 e^3x dx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 19:35:19
不定积分 ：∫ x^2 e^3x dx
不定积分 ：∫ x^2 e^3x dx
不定积分 ：∫ x^2 e^3x dx
∫ x^2 e^(3x) dx =1/3∫ x^2 d(e^(3x) )
=1/3*x^2*e^(3x)-1/3∫ e^3x dx^2
=1/3*x^2*e^(3x)-1/3∫ 2x*e^3x dx
=1/3*x^2*e^(3x)-2/9∫ 3x*e^3x dx
=1/3*x^2*e^(3x)-2/9∫ xd(e^(3x))
=1/3*x^2*e^(3x)-2/9* x*(e^(3x))+2/9∫ e^(3x)dx
=1/3*x^2*e^(3x)-2/9* x*(e^(3x))+2/27* e^(3x)+C
楼上正解，打了很多字。题很简单分部积分法利用∫udv=uv-∫vdu这一个公式三次！
用速解法。
令u = x²，v = e^(3x)，对u求导，对v积分，然后交叉相乘，第一项正号，第二项负号，第三项正号...
u' = 2x，v1 = (1/3)e^(3x)
u'' = 2，v2 = (1/9)e^(3x)
u''' = 0，v3 = (1/27)e^(3x)
∫ x²e^(3x) dx
= x² * ...
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用速解法。
令u = x²，v = e^(3x)，对u求导，对v积分，然后交叉相乘，第一项正号，第二项负号，第三项正号...
u' = 2x，v1 = (1/3)e^(3x)
u'' = 2，v2 = (1/9)e^(3x)
u''' = 0，v3 = (1/27)e^(3x)
∫ x²e^(3x) dx
= x² * (1/3)e^(3x) - 2x * (1/9)e^(3x) + 2 * (1/27)e^(3x) + C
= (1/3)x²e^(3x) - (2/9)xe^(3x) + (2/27)e^(3x) + C
详细的则是分部积分法。
∫ x²e^(3x) dx
= (1/3)∫ x² d[e^(3x)]
= (1/3)x²e^(3x) - (1/3)∫ 2xe^(3x) dx，第一次分部积分法
= (1/3)x²e^(3x) - (2/3)(1/3)∫ x d[e^(3x)]
= (1/3)x²e^(3x) - (2/9)xe^(3x) + (2/9)∫ e^(3x) dx，第二次分部积分法
= (1/3)x²e^(3x) - (2/9)xe^(3x) + (2/9)(1/3)e^(3x) + C
= (1/3)x²e^(3x) - (2/9)xe^(3x) + (2/27)e^(3x) + C
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