已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p,使得pF1⊥pF2,则椭圆离心率范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 06:51:30
已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p,使得pF1⊥pF2,则椭圆离心率范围

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p,使得pF1⊥pF2,则椭圆离心率范围
已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p,使得pF1⊥pF2,则椭圆离心率范围

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p,使得pF1⊥pF2,则椭圆离心率范围
如果存在p使pF1⊥pF2,
那么将椭圆与y轴的交点和F1F2相连得到的两条直线的夹角一定要大于等于90度
设椭圆与y轴的交点为B(0,b)
连接BF1、BF2
那么若∠F1BF2大于等于90°,则会存在pF1⊥pF2
而若∠F1BF2小于90°,则不存在pF1⊥pF2
所以只有在∠F1BO大于等于45°的时候,才会存在pF1⊥pF2
于是
c/√(a²-c²) > tan45°=1,
即c >√(a²-c²)
得到c²> 0.5a²
所以离心率e=c/a > √0.5 =√2 /2
即离心率的范围是[√2 /2 ,1)

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