作业帮函数值域问题 求y值域 y=x-k√(x^2-1)y=x-k√(x^2-1) x》1 即x大于等于1其中k为实数,且0是k倍根号下（x^2-1) ；后面x》1是x大于等于1的意思 是条件 ；因为x》1，所以f(1)》0？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 05:19:23
函数值域问题 求y值域 y=x-k√(x^2-1)y=x-k√(x^2-1) x》1 即x大于等于1其中k为实数,且0是k倍根号下（x^2-1) ；后面x》1是x大于等于1的意思 是条件 ；因为x》1，所以f(1)》0？
函数值域问题 求y值域 y=x-k√(x^2-1)
y=x-k√(x^2-1) x》1 即x大于等于1
其中k为实数,且0
是k倍根号下（x^2-1) ；后面x》1是x大于等于1的意思 是条件 ；因为x》1，所以f(1)》0？
函数值域问题 求y值域 y=x-k√(x^2-1)y=x-k√(x^2-1) x》1 即x大于等于1其中k为实数,且0是k倍根号下（x^2-1) ；后面x》1是x大于等于1的意思 是条件 ；因为x》1，所以f(1)》0？
y = x - k√(x^2 - 1),设 √(x^2 - 1) = t (t ≥ 0),x = √(t^2 + 1)
则 y = √(t^2 + 1) - kt (t≥0),令 t = tanu ( 0≤u＜Pi/2),则:
y = secu - ktanu = 1/cosu - k(sinu/cosu) = (1-ksinu)/cosu
∴ ksinu + y cosu = 1
∴ √(k^2 + y^2)sin(u+φ) = 1,tanφ = y/k
∴ sin(u+φ) = 1/√(k^2 + y^2) ≤ 1
∴ y ≥ √(1 - k^2 )
补充:x →+∞,√(x^2 - 1) → x,y → (1-k)x → +∞ (1-k为正数定值）,
可知y无上界.
∴ y的值域是 [√(1 - k^2 ),+∞]
根号放等号左边，右边放x的一次式和y
两边平方，整理，可得一关于x的2次方程(1-k^2)x^2-2yx+k^2-y^2=0,
令f(x)=(1-k^2)x^2-2yx+k^2-y^2,因为x》1，所以f(1)》0，得到（-1+根号2，1+根号2）而且对称轴要大于等于1，又得y》1-k^2,
再讨论1-k^2与（1+根号2）的大小就可确定值域...
全部展开
根号放等号左边，右边放x的一次式和y
两边平方，整理，可得一关于x的2次方程(1-k^2)x^2-2yx+k^2-y^2=0,
令f(x)=(1-k^2)x^2-2yx+k^2-y^2,因为x》1，所以f(1)》0，得到（-1+根号2，1+根号2）而且对称轴要大于等于1，又得y》1-k^2,
再讨论1-k^2与（1+根号2）的大小就可确定值域
收起
以为0
36-521
y'=1-kx/[√(x^2-1)]={[√(x^2-1)]-kx}/[√(x^2-1)]
讨论y'的正负情况
由于√(x^2-1)大于等于0，故只看分子。
令y'>0，得√(x^2-1)>kx
不等式两端均为正数，同时平方
x^2-1>(k^2)x^2
(1-k^2)x^2>1 由0
全部展开
y'=1-kx/[√(x^2-1)]={[√(x^2-1)]-kx}/[√(x^2-1)]
讨论y'的正负情况
由于√(x^2-1)大于等于0，故只看分子。
令y'>0，得√(x^2-1)>kx
不等式两端均为正数，同时平方
x^2-1>(k^2)x^2
(1-k^2)x^2>1 由0
故当x>1/[√(1-k^2)]时，函数为增函数；
当1<=x<1/[√(1-k^2)]时，函数为减函数。
当x=1/[√(1-k^2)]时，函数有最小值。为√(1-k^2)
当然，还要验证当x趋向于无穷大时，函数是否有极限。
可以验证，由于0
y ≥ √(1 - k^2 ) 。
当然，退一步说，如果k=1，楼主可以试一下，函数是个单调递减，且无穷大处有极限（趋向0）的图象。
收起