作业帮已知f（x）=ln(e^X+t）-x是定义在R上的函数,⑴求实数t的取值范围⑵是判断f（x）的单调性⑶当t=1/4时,证明f（x）+x/2≥0恒成立
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 00:13:36
已知f（x）=ln(e^X+t）-x是定义在R上的函数,⑴求实数t的取值范围⑵是判断f（x）的单调性⑶当t=1/4时,证明f（x）+x/2≥0恒成立
已知f（x）=ln(e^X+t）-x是定义在R上的函数,
⑴求实数t的取值范围
⑵是判断f（x）的单调性
⑶当t=1/4时,证明f（x）+x/2≥0恒成立
已知f（x）=ln(e^X+t）-x是定义在R上的函数,⑴求实数t的取值范围⑵是判断f（x）的单调性⑶当t=1/4时,证明f（x）+x/2≥0恒成立
第一问简单 是个恒成立问题 答案是t>=0
第二问直接求导得f'(x)=e^x/(e^x+t)-1恒小于0 故单调减
f(x)+x/2=ln(e^X+1/4)-x/2=ln[(e^X+1/4)/e^(x/2)]
在里面使用基本不等式就可以得到e^(X/2)+(1/4)/e^(X/2)>=1
即得证
(1)e^x+t>0,解得：t>-e^x,即：t>=0;
(2)对函数求导，得：f（x）=1/(e^x+t)*e^x-1,因为e^x+t>0，t>=0,应此f'（x）恒大于0，也就所以函数在R上单调递增。
（3）令g（x）=f（x）+x/2.对其同样进行求导，得：g‘（x）=4^x/(4e^x+1)-1/2令倒数为0，得：e^x=1/4 x=-2in2 所以g（x）>=g(-2...
全部展开
(1)e^x+t>0,解得：t>-e^x,即：t>=0;
(2)对函数求导，得：f（x）=1/(e^x+t)*e^x-1,因为e^x+t>0，t>=0,应此f'（x）恒大于0，也就所以函数在R上单调递增。
（3）令g（x）=f（x）+x/2.对其同样进行求导，得：g‘（x）=4^x/(4e^x+1)-1/2令倒数为0，得：e^x=1/4 x=-2in2 所以g（x）>=g(-2ln2)=0.所以，f（x）+x/2≥0
收起