作业帮已知三角形ABC中,A（4,5）,B点在X轴上,C点在直线L：2X-Y+2=0上,求三角形ABC周长最小值及A,B坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 13:54:39
已知三角形ABC中,A（4,5）,B点在X轴上,C点在直线L：2X-Y+2=0上,求三角形ABC周长最小值及A,B坐标
已知三角形ABC中,A（4,5）,B点在X轴上,C点在直线L：2X-Y+2=0上,求三角形ABC周长最小值及A,B坐标
已知三角形ABC中,A（4,5）,B点在X轴上,C点在直线L：2X-Y+2=0上,求三角形ABC周长最小值及A,B坐标
A点(4,5),点A关于直线l:2x-y+2=0对称的点为D,设D(x,y)
则点D(x,y)与点A(4,5)的中点在直线2x-y+2=0上
有x+4-1/2(y+5)+2=0
直线AD一定垂直于直线2x-y+2=0
则（y-5)/(x-4)=-1/2
联立前式,得D点坐标为（0,7)
根据对称原理,△ABC的周长的最小值 =AC+BA+BC=DC+CD+CA=DB+BA
即DB+BA的最小值,
同理,可设点D关于x轴的对称点E
则E坐标为（0,-7）
直线EA与x轴交于一点,当点B处在这个点时,DB+BA取得最小值
此时DB+BA=EA=4根号10,周长最小值为4根号10
此时B点坐标为(7/3,0),C点为直线DB与直线2x-y+2=0的交点
C点坐标为(1,4）
2x^2-3x-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2,
则cosC=-1/2,
C=120度,
cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab,
令,Y=a+b+c,有
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),<...
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2x^2-3x-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2,
则cosC=-1/2,
C=120度,
cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab,
令,Y=a+b+c,有
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值.
a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值,即a+b=10=2a,a=5.
cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3,
c=5√3.
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
=25/(10-5√3)=10+5√3.
三角形ABC周长的最小值为:10+5√3.
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