用极限定义证明：lim根号下（n+1)减去根号下n=0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 22:05:20

用极限定义证明：lim根号下（n+1)减去根号下n=0
用极限定义证明：lim根号下（n+1)减去根号下n=0

用极限定义证明：lim根号下（n+1)减去根号下n=0
证明：
① 对任意 ε>0 ,
要使 |(√(n+1) -√n) -0| < ε 成立,
只要 |(√(n+1) -√n) -0|=√(n+1)-√n = 1/[√(n+1)+√n]1/ε^2 即可.
② 故存在 N=[1/ε^2] ∈N
③ 当 n>N 时,
n≥N+1=[1/ε^2]+1>1/ε^2
④ 恒有：|(√(n+1) -√n) -0| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (√(n+1) -√n) = 0

两个的极限都是无穷大，所以等零

lim[√（n+1)-√n]=lim[[√（n+1)-√n][√（n+1)+√n]/[√（n+1)+√n]
=lim1/[√（n+1)+√n]=0
因为 [√（n+1)+√n]→∞ 所以 1/[√（n+1)+√n]=0

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