作业帮关于偏导数,全微分的一道证明题,图中第16题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:00:56
关于偏导数,全微分的一道证明题,图中第16题
关于偏导数,全微分的一道证明题,图中第16题
关于偏导数,全微分的一道证明题,图中第16题
由于
Df(0,0)/Dx = lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x = lim(x→0)[√|x*0|-0]/x = 0,
Df(0,0)/Dy = lim(y→0)[f(0,y)-f(0,0)]/y = lim(y→0)[√|0*y|-0]/y = 0,
知函数 f(x,y) 在 (0,0) 的两个偏导数均存在,但因
lim(ρ→0){f(△x,△y)-f(0,0)-[Df(0,0)/Dx]△x-[Df(0,0)/Dy]△y}/ρ
= lim(ρ→0)(√|△x△y|)/√(△x²+△y²)
= lim(ρ→0)√[(|△x△y|)/(△x²+△y²)] (ρ = √(△x²+△y²))
极限不存在,得知
f(△x,△y)-f(0,0)-[Df(0,0)/Dx]△x-[Df(0,0)/Dy]△y ≠ o(ρ),
即函数 f(x,y) 在 (0,0) 不可微.