作业帮请告诉我所有一元三次方程的相关公式急
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:02:56
请告诉我所有一元三次方程的相关公式急
请告诉我所有一元三次方程的相关公式
急
请告诉我所有一元三次方程的相关公式急
我给你两个例题和解法：
1.4A^3+4A^2+1=0
令f(A)=4A^3+4A^2+1
则f'(A)=12A^2+8A=12A(A+2/3)
显然f(A)在A=0处有一个极小点,在A=-2/3处有一个极大点.
带入A=0可得：f(0)=1＞0
该函数与A轴只有一个交点,可以用配方法求该实数解的精确值.
4A^3+4A^2+1=0等价于A^3+A^2+1/4=0
等价于(A+1/3)^3-(A+1/3)/3+35/108=0
令A+1/3=t
则t^3-t/3+35/108=0
令t=a+b
由(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
=(a^3+b^3)+3ab(a+b)
即(a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)=0
比较这个等式与包含t的方程可得
1/3=3ab
-35/108=a^3+b^3
联立这两式
可得
a^3=-35/216+√129/72,b^3=-35/216-√129/72
所以
a=(-35/216+√129/72)^(1/3)
=-(35/216-√129/72)^(1/3)
b=(-35/216-√129/72)^(1/3)
=-(35/216+√129/72)^(1/3)
t=a+b=-(35/216-√129/72)^(1/3)-(35/216+√129/72)^(1/3)
A=t-1/3
=-(35/216-√129/72)^(1/3)-(35/216+√129/72)^(1/3)-1/3
即方程4A^3+4A^2+1=0的实根为
A=-(35/216-√129/72)^(1/3)-(35/216+√129/72)^(1/3)-1/3
2.x^3+2x^2-100=0
要解的方程为：x^3+2x^2-100=0
令f(x)=x^3+2x^2-100
则f'(x)=3x^2+4x=3x(x+4/3)
显然f(x)在x=0处有一个极小点,在x=-4/3处有一个极大点.
带入x=0可得：f(0)=-100＜0
带入x=-4/3可得：f(-4/3)=28/27-100＜0
则该函数与A轴只有一个交点,可以用配方法求该实数解的精确值.
x^3+2x^2-100=0
等价于(x+2/3)^3-4(x+2/3)/3-2684/27=0
令x+2/3=t
则t^3-4t/3-2684/27=0
令t=a+b
由(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
=(a^3+b^3)+3ab(a+b)
即(a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)=0
比较这个等式与包含t的方程可得
4/3=3ab
2684/27=a^3+b^3
联立这两式
可得
a^3=1342/27+(10√2001)/9,b^3=1342/27-(10√2001)/9
所以
a=[1342/27+(10√2001)/9]^(1/3)
b=[1342/27-(10√2001)/9]^(1/3)
t=a+b=[1342/27+(10√2001)/9]^(1/3)+[1342/27-(10√2001)/9]^(1/3)
x=t-2/3
=[1342/27+(10√2001)/9]^(1/3)+[1342/27-(10√2001)/9]^(1/3)-2/3
即方程x^3+2x^2-100=0的实根为
x=[1342/27+(10√2001)/9]^(1/3)+[1342/27-(10√2001)/9]^(1/3)-2/3