作业帮数学三垂线定理角形ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P是平面ABC外一点,且PA=PB＝PC,AC=8,求P -AC-B二面角正切值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 10:58:40
数学三垂线定理角形ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P是平面ABC外一点,且PA=PB＝PC,AC=8,求P -AC-B二面角正切值
数学三垂线定理
角形ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P是平面ABC外一点,且PA=PB＝PC,AC=8,求P -AC-B二面角正切值
数学三垂线定理角形ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P是平面ABC外一点,且PA=PB＝PC,AC=8,求P -AC-B二面角正切值
△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P是平面ABC外一点,且PA=PB＝PC,PC=8,求P -AC-B二面角正切值
(原题可能有错：后面的AC=8与前面的AC=8重复了,估计后面的AC=8是PC=8之误,不然此题无
∵AC=PA=PC=8,∴△PAC是等边三角形.取AC的中点D,连接PD,则PD⊥AC；
又因为AB=6,AC=8,BC=10,所以△ABC是RT△,A是直角,即CA⊥AB；取BC 中点,连DE
则DE是中位线,平行且等于AB的一半,即DE⊥AC,且DE=AB/2=3；故∠PDE就是二面角P -AC-B所成的平面角.
由于PD=8×(√3/2)=4√3；DE=3；△PBC是等腰三角形,E是其底边BC的中点,故PE⊥BC,
∴PE=√(PC²-EC²)=√(64-25)=√39.
在△PDE中使用余弦定理,得cos∠PDE=(PD²+DE²-PE²)/(2×PD×DE)=(48+9-39)/(2×4√3×3)
=18/(24√3)=(1/4)√3.
故tan∠PDE=√[(sec²∠PDE)-1]=√[(16/3)-1]=√(13/3)=(1/3)√39.
因为ca=6,bc=8,ab=10所以▲abc是直角▲，角c为直角、取ab之中点d，连cd，易知cd=ad=bd、过d作面abc的垂线de、因为pc=pa=pb=7所以p点一定在直线de上。已知de垂直面abc，所以面pab垂直面abc，所以二面角p－ab－c=90度。