作业帮帮忙求解这个常微分方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 13:38:58
帮忙求解这个常微分方程
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帮忙求解这个常微分方程
为了解题方便,令U=μρ,m=(1-μ)ρ0ω²/E
则原方程变形为d²U/dρ²+(1/ρ)dU/dρ-U/ρ²+mρ=0.(1)
设ρ=e^t,则t=lnρ,dt/dρ=1/ρ
∵dU/dρ=(dU/dt)(dt/dρ)=(1/ρ)dU/dt
d²U/dρ²=(1/ρ²)d²U/dt²-(1/ρ²)dU/dt
=(1/ρ²)(d²U/dt²-dU/dt)
∴代入方程(1)得 (1/ρ²)(d²U/dt²-dU/dt)+(1/ρ²)dU/dρ-U/ρ²+mρ=0
==>d²U/dt²-U+me^(3t)=0.(2)
∵齐次方程d²U/dt²-U=0的特征方程是r²-1=0,则r=±1
∴齐次方程d²U/dt²-U=0的通解是U=C1e^t+C2e^(-t) (C1,C2是积分常数)
∵设方程(2)的一个解为U=Ae^(3t)
代入方程(2)得9Ae^(3t)-Ae^(3t)+me^(3t)=0
==>8A+m=0
==>A=-m/8
∴方程(2)的一个解是U=-me^(3t)/8
==>方程(2)的通解是U=C1e^t+C2e^(-t)-me^(3t)/8 (C1,C2是积分常数)
==>方程(1)的通解是U=C1ρ+C2/ρ-mρ³/8 (C1,C2是积分常数)
故原方程的通解是μρ=C1ρ+C2/ρ-(1-μ)ρ0ω²ρ³/(8E) (C1,C2是积分常数).