作业帮与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1椭圆球面上三个点A（x1,y1,z1）B（x2,y2,z2）C（x3,y3,z3）,已知这三个点处的切平面相互垂直,证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 17:09:43
与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1椭圆球面上三个点A（x1,y1,z1）B（x2,y2,z2）C（x3,y3,z3）,已知这三个点处的切平面相互垂直,证明
与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1
椭圆球面上三个点A（x1,y1,z1）B（x2,y2,z2）C（x3,y3,z3）,已知这三个点处的切平面相互垂直,证明
与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1椭圆球面上三个点A（x1,y1,z1）B（x2,y2,z2）C（x3,y3,z3）,已知这三个点处的切平面相互垂直,证明
刚好是那个证明中的后半部分, 连符号都一样.
看来咱们思路差不多吧.
由(x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), (x₃,y₃,z₃)是曲面上三点, 即有:
ax₁²+by₁²+cz₁² = 1 ①, ax₂²+by₂²+cz₂² = 1 ②, ax₃²+by₃²+cz₃² = 1 ③.
可算得三点处的切平面法向量分别为:
α = (ax₁,by₁,cz₁), β = (ax₂,by₂,cz₂), γ = (ax₃,by₃,cz₃).
三个切平面互相垂直, 即它们的法向量互相正交, 有: α·β = β·γ = γ·α = 0.
α, β, γ构成R³的一组正交基, 于是对任意向量η成立恒等式:
η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² .
分别在上式中取η = (1/a,0,0), (0,1/b,0), (0,0,1/c)得:
1/a² = x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ², 1/b² = y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ², 1/c² = z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ².
于是1/a+1/b+1/c = a(x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ²)+b(y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ²)+c(z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ²)
= (ax₁²+by₁²+cz₁²)/α²+(ax₂²+by₂²+cz₂²)/β²+(ax₃²+by₃²+cz₃²)/γ²
= 1/α²+1/β²+1/γ² (将①, ②, ③代入)
= 1/(a²x₁²+b²y₁²+c²z₁²)+1/(a²x₂²+b²y₂²+c²z₂²)+1/(a²x₃²+b²y₃²+c²z₃²).
即所求证.