作业帮∫(x^2)(cosx^3)(sinx)dx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:02:27
∫(x^2)(cosx^3)(sinx)dx
∫(x^2)(cosx^3)(sinx)dx
∫(x^2)(cosx^3)(sinx)dx
K = ∫ x² * cos³x * sinx dx
= ∫ x² * cos²x * (1/2)sin2x dx
= ∫ x² * (1 + cos2x)/2 * (1/2)sin2x dx
= (1/4)∫ x²sin2x dx + (1/4)∫ x²sin2xcos2x dx
= (1/4)∫ x²sin2x dx + (1/8)∫ x²sin4x dx
= (1/4)N + (1/8)M
N = ∫ x²sin2x dx
= (- 1/2)∫ x² d(cos2x)
= (- 1/2)x²cos2x + (1/2)∫ 2xcos2x dx
= (- 1/2)x²cos2x + (1/2)∫ x d(sin2x)
= (- 1/2)x²cos2x + (1/2)xsin2x - (1/2)∫ sin2x dx
= (- 1/2)x²cos2x + (1/2)xsin2x + (1/4)cos2x
M = ∫ x²sin4x dx
= (- 1/4)∫ x² d(cos4x)
= (- 1/4)x²cos4x + (1/4)∫ 2xcos4x dx
= (- 1/4)x²cos4x + (1/8)∫ x d(sin4x)
= (- 1/4)x²cos4x + (1/8)xsin4x - (1/8)∫ sin4x dx
= (- 1/4)x²cos4x + (1/8)xsin4x + (1/32)cos4x + C
所以K =
(- 1/8)x²cos2x + (1/8)xsin2x + (1/16)cos2x - (1/32)x²cos4x + (1/64)xsin4x + (1/256)cos4x + C