试证：对任意的正整数n,有1/123+1/234+L+1/n(n+1)(n+2)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 21:24:07

试证：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+L+1/n(n+1)(n+2)
试证：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+L+1/n(n+1)(n+2)<1/4

试证：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+L+1/n(n+1)(n+2)
1/[n(n+1)(n+2)]
=(1/n)*[1/(n+1) - 1/(n+2)]
= 1/[n(n+1)] - 1/[n(n+2)]
1/1*2*3+1/2*3*4+……+1/n(n+1)(n+2)
= 1/1*2 - 1/1*3 + 1/2*3 - 1/2*4 + …… + 1/[n(n+1)] - 1/[n(n+2)]
= [1/1*2 + 1/2*3 + …… 1/n(n+1) ] - [1/1*3 + 1/2*4 + …… + 1/[n(n+2) ]
因为 1/n(n+1) = 1/n - 1(n+1) ,
所以上式中前一半为
1/1*2 + 1/2*3 + …… 1/n(n+1)
=1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + …… + 1/n - 1/(n+1)
= 1 - 1/(n+1)
因为 1/n(n+2) = [1/n - 1/(n+2)]/2
所以后一半为
1/1*3 + 1/2*4 + …… + 1/[n(n+2)
= [1/1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 + …… 1/n - 1/(n+2) ]/2
= [1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2)]/2
= 3/4 - [1/(n+1) + 1/(n+2)]/2
所以
原式
= 1 - 1/(n+1) - 3/4 + [1/(n+1) + 1/(n+2)]/2
= 1/4 - [1/(n+1) - 1/(n+2)]/2
其中 1/(n+1) - 1/(n+2) 恒大于0.所以
原式 < 1/4
命题得证

证明：对任意的正整数n,有1/1×3+1/2×4+1/3×5+.+1/n(n+2) 证明:对任意大于1的正整数n,有1/2*3+1/3*4+L+1/n(n+1) 试证：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+……+1/n(n+1)*(n+2) 试证；对任意的正整数n,有1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+.+1/n(n+1)(n+2) 试证：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+L+1/n(n+1)(n+2) 证明对任意的正整数n,不等式In(n+1)/n<(n+1)/n^2证明对任意的正整数n,不等式In(n+1)/n 试证:对任意正整数n>1,有1/（n+1)+1/n+2+.+1/2n>1/2 对任意正整数n,根号[(n+2)/n]与根号[(n+3)/(n+1)]的大小关系是证明对任意的正整数n,都有1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2≥3n/2n+1 对任意的正整数n 有1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)＜ 1/4 证明:对任意的正整数n,有1／(1×2×3)+2／(2×3×4)+…+1／n(n+1)(n+2)＜1／4 验证:对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2) 证明：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+.+1/n(n+1)(n+2) 证明对任意正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3 试证：对任意正整数n,有1/（1*2*3）+1/（2*3*4）+…+1/（n（n+1）（n+2））证明对任意的正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3都成立证明：对任意大于一的正整数n,有（1/（2*3））+（1/（3*4））...+(1/(n（n+))＜1/2 对于任意的正整数n,有1/1*2*3 + 1/2*3*4 +...1/n(n+1)(n+2)