作业帮一道线性代数题,看看我哪里错了已知detA=-1,A是正交阵,求证-1是A的特征值.（detA是A 的行列式）证：以下用A’t’代表A的转置矩阵.A是正交阵,所以A’t’A=E设m是A的特征值,x是对应的特征向量.则
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 15:12:14
一道线性代数题,看看我哪里错了已知detA=-1,A是正交阵,求证-1是A的特征值.（detA是A 的行列式）证：以下用A’t’代表A的转置矩阵.A是正交阵,所以A’t’A=E设m是A的特征值,x是对应的特征向量.则
一道线性代数题,看看我哪里错了
已知detA=-1,A是正交阵,求证-1是A的特征值.（detA是A 的行列式）
证：以下用A’t’代表A的转置矩阵.
A是正交阵,所以A’t’A=E
设m是A的特征值,x是对应的特征向量.
则有Ax=mx,(Ax)’t’=（mx）’t’=mx’t’
所以(Ax)’t’Ax=mx’t’mx=m*mx’t’x
又因为(Ax)’t’Ax=x’t’A’t’Ax=x’t’x
所以有m*mx’t’x=x’t’x即(m*m-1)=0
解得m=1或-1
哪里错了?没有用到detA=-1
一道线性代数题,看看我哪里错了已知detA=-1,A是正交阵,求证-1是A的特征值.（detA是A 的行列式）证：以下用A’t’代表A的转置矩阵.A是正交阵,所以A’t’A=E设m是A的特征值,x是对应的特征向量.则
就是因为你少用一个条件,才多解出了一个m=1.
先说本题的正统解法,再分析你的做法的问题,进而在你的方法上改进得到正确解答.
你的解法过程没错,只是没用到det(A)=-1,加上这个条件就能同样得到答案.
你现在得到的结论：-1或1是特征值
题目要证明的结论：-1是特征值
我们发现,你得到的结论共有3种情况：
（1）-1是特征值,1不是特征值
（2）1是特征值,-1不是特征值
（3）-1和1都是特征值
其中（2）的情况-1就不是特征值了,如果（2）的情况发生,那你的证明就不对了.
现在我们就用det(A)=-1这个条件来把（2）排除掉.
由于A是正交矩阵,所以A的特征值只能是-1或1,不能是其他数了.那么假设A的特征值里没有-1,势必特征值是全1,此时|A|=1,与题意矛盾,所以我们就排除了（2）这种情况.
这样一来你的证明也就对了.
对啊，你的证明是没用到detA=-1，但是你也没证明-1是A的特征值啊
有可能1是A的全部特征值
因为正交阵的特征值只能是1或-1，所以你能得出m=1或-1