作业帮求函数h(x)=3次根号x^7+3次根号x^4-3*3次根号x的极值,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:45:00
求函数h(x)=3次根号x^7+3次根号x^4-3*3次根号x的极值,
求函数h(x)=3次根号x^7+3次根号x^4-3*3次根号x的极值,
求函数h(x)=3次根号x^7+3次根号x^4-3*3次根号x的极值,
令t=x^(1/3),则
h(x)=x^(7/3)+x^(4/3)-3*x^(1/3)
=t^7+t^4-3t
=g(t)
求h(x)的极值相当于求g(t)的极值
g'(t)=7t^6+4t^3-3=(t^3+1)(7t^3-3)
令g'(t)=0可解得
t^3=-1或t^3=3/7
易验证,t^3≤-1或t^3≥3/7时,g'(t)≥0
-1≤t^3≤3/7时,g'(t)≤0
∴g(t)在t^3=-1,即t=-1处取得极大值,g(-1)=-1+1+3=2
g(t)在t^3=3/7,即t=(3/7)^(1/3)处取得极小值,
极小值为 g[(3/7)^(1/3)]=(3/7)^(7/3)+(3/7)^(4/3)-3*(3/7)^(1/3)
此极大极小值与h(x)的极大极小值相同
函数h(x)=3次根号x^7+3次根号x^4-3*3次根号x
=∛x(x^2+x-3)
h'(x)=1/3*1/∛x^2*(x^2+x-3)+∛x*(2x+1)
=1/3*1/∛x^2*(x^2+x-3+6x^2+3x)
=1/3*1/∛x^2*(7x^2+4x-3)
x=0 是一个特殊点
...
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函数h(x)=3次根号x^7+3次根号x^4-3*3次根号x
=∛x(x^2+x-3)
h'(x)=1/3*1/∛x^2*(x^2+x-3)+∛x*(2x+1)
=1/3*1/∛x^2*(x^2+x-3+6x^2+3x)
=1/3*1/∛x^2*(7x^2+4x-3)
x=0 是一个特殊点
7x^2+4x-3=0 的根是 x=-1 和 x=3/7
当 x=0 时左边和右边的 h'(x) 符号不变，因此不是极点
x=-1 时 h(-1)=+3
x=3/7 时 h(3/7)=-117/49*∛(3/7)=
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