作业帮一道一元函数的导数证明题证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2.没头绪啊,还请高人赐教……
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:57:14
一道一元函数的导数证明题证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2.没头绪啊,还请高人赐教……
一道一元函数的导数证明题
证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2.
没头绪啊,还请高人赐教……
一道一元函数的导数证明题证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2.没头绪啊,还请高人赐教……
y=a^2/x
则y′=-a^2/x^2.
设P(t,a^2/t),则过点P的切线斜率为-a^2/t^2,
切线方程为y-a^2/t=(-a^2/t^2)(x-t),
于是Q(2t,0),R(0,2a^2/t).
(1).QR的中点(t,a^2/t)恰是点P.
(2).三角形OQR面积=|2t|*|2a^2/t|/2=2a^2.
切线与两坐标轴各有一个交点，两坐标轴，切线三者围成一个直角三角形，求面积不就可以了。
x不为0
y=a^2/x
y'=-（a/x）^2
任意一点（m，a^2/m）处的切线方程为：y-a^2/m=-（a/m）^2（x-m）
与双轴交点分别为（0，2×a^2/m）（2m，0）
三角形面积为1/2|2m×2×a^2/m|=2a^2.