函数教学中的误区

函数教学中的误区
函数教学中的误区

函数教学中的误区
1．抓住函数概念核心,加强概念形成的教学

函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型,反映的是什么样的规律呢?这也就是函数概念的核心的问题.纵观300年来函数概念的发展,从早期几何观念下的函数,到十八世纪代数观念下的函数,到十九世纪对应关系下的函数,再到现代的集合论下的函数,众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度,不断赋予函数概念以新的思想,逐渐形成了现代函数的定义形式.而在初中学段引入的函数概念,是从运动变化的观点出发,用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,则称x为自变量,y为x的函数”.分析这个定义对函数概念内涵的文字描述,可以发现,它强调了近代函数定义中的“对应”,并且明确了“y对x是单值对应”,这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求,但是没有从“集合”角度描述函数.因此可以认为,初中数学中的函数概念的核心,是函数概念三要素中的对应关系,并且明确其为“单值对应”关系.这主要包括了两层含义：第一,两个变量是互相联系的,一个变量变化时,另一个变量也发生变化；第二,函数与自变量之间是单值对应关系,自变量的值确定后,函数的值是唯一确定的.

函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点.学生初次接触函数概念时,涉及到很多复杂的层次,包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系.这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍.另外,学生在学习函数概念之前,接触的基本上是常量数学的内容,是静态的数学知识.而函数研究的是变量与变量之间的关系,其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的.因此,函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点.

学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程,概念形成和概念同化反映了学生掌握概念的两种不同心理过程.根据中学生的认知特点,掌握概念的方式,应更多的采用概念形成,即从典型、丰富的具体例子出发,学生经过自己的实践活动,从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征,从而理解和掌握概念.为了帮助学生形成函数概念,教学中要注意“举三反一”——通过给学生大量客观世界中反映这种变化规律的实例（解析式的、图象的、表格的）,让学生经历“发生发展过程”,为学生提供独立概括概念的机会,经过分析、综合、比较而概括出函数概念“单值对应”的本质属性.在此基础上,再“举一反三”——用学生得到的函数概念再去看其他的对应问题,是不是符合函数概念的“单值对应”.在这一过程中,要注意恰当地使用反例,巩固学生对于函数概念的理解.

同样,对于特殊的函数（如正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等）,也要注意把握其概念的核心,注意概念的形成的教学.理解概念是一切数学活动的基础,学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容.对于函数概念教学的重要性要有充分的认识,要舍得花时间、花力气.

2．加强研究函数的一般方法的引导

如前所述,对于函数这部分内容,各个版本课标教材都是按照从一般到特殊的线索展开,对于一般函数,要研究它的概念、表示法、图象等；对于特殊函数,要研究它们的概念,图象和性质以及其他一些相关问题.仔细比较各个版本的教材,可以发现教材对于各个部分内容的处理思路、呈现方式也是基本一致的,其中存在着很多研究方法的联系.

例如,对于反比例函数概念的教学,大多经历这样的过程：从一些具体实例引入（包括匀速运动路程固定,速度与时间的关系；商品总价固定,单价与商品数量的关系；长方形面积固定,长与宽的关系；等等）；让学生概括其中的共同本质特征（函数关系,反比例关系）；下定义（给出反比例函数的文字和符号描述）；辨析概念（从反比例关系、函数两方面辨析概念,注意反例的使用）；例题（给出用概念作判断的操作步骤）；反思（与正比例函数、一次函数作比较,纳入概念系统）等.这个过程实际上体现了概念教学的几个基本环节：

? 概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）
? 概念的形成（提供典型丰富的具体例证,概括其本质属性）
? 概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）
? 概
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念的表示（用数学符号表示,这是数学概念的特色）
? 概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义,应用概念作判断）.

实际上,相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程.因此在教学过程中,适时地给他们一些“先行组织者”,加以研究方法的引导,对于学生理解相关概念是大有裨益的,可以起到事半功倍的效果.
再如,对于几种特殊函数性质的讨论,也有很多研究方法的联系.无论是对于正比例函数,还是一次函数、反比例函数、二次函数,都要研究以下问题：

? 研究的内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等；
? 研究的方法：“三步曲”——画函数图象,观察归纳特征,数学语言描述性质；
? 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等.

这些内容,反映了我们研究函数问题的“基本套路”.在开始对特殊函数的研究中,需要教师遵循这个套路,并能适时归纳和总结.在后续对其他函数的研究中,这个先行组织者就能起到“导游图”的作用,为将要学习的内容提供了一个框架或线索,使学生对学习进程心中有数,有助于学生完成后续内容的学习.

3．注意函数思想的渗透,用函数观点统领相关内容

客观世界的事物是运动变化的、相互制约的,相互之间既有联系又有矛盾,从而推动着事物向前发展.这种关系在数学中集中反映在函数和函数思想上.在中学阶段的数学教学要突出函数的内容,是数学家们长期实践后得出的结论.克莱因在为中学数学教学起草的《米兰大纲》（1905）中明确提出：“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础”；在其著作《高观点下的初等数学》中,他进一步强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容,主张加强函数和微积分的教学,改革和充实代数的内容.

函数描写运动,刻画一个变量随着另一个变量的变化,给出一个数集到另一个数集的对应关系.变化与对应是函数思想的核心内容,而变量思想是函数思想的基础.在数学思维的发展过程中,由“常量”到“变量”是一个质的转变,发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程.这就要求教师在教学中要挖掘知识中蕴含的函数思想,有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养,潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法.

首先,在函数概念教学之前,需要提前渗透变化与对应的思想.在初中阶段,由具体的数过渡到用字母表示数,再由字母过渡到代数式、方程及简单的不等式等,都需要不断渗透变量思想的教学,在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识.例如,在有理数的运算中,可以通过让学生进行“对不同的数加上同一个数得到不同的结果”的练习,渗透集合、对应、根据法则由自变量求函数值；在进行“求代数式的值”的教学时,可以通过指出“字母每取一个值,代数式就有唯一确定的值”以及进行一些相应练习渗透对应的思想；通过讨论整式、分式、根式中字母的取值范围,可以渗透了函数的定义域；等等.这样做,将静态的知识模式演变为动态的讨论,赋予了函数的形式,让学生以运动的观点去领会知识,这是发展函数思想的重要途径.

其次,在进行函数内容教学时,要适时明确函数思想.在进行一般函数概念教学时,要把函数思想明确给学生,结合生活中函数关系的实例,使学生对函数中变化、对应的思想有初步理解,这是理性认识的开始.在进行具体初等函数教学时,要进一步充实函数思想的理论内容.这时,一方面要继续结合具体函数概念的建立让学生体会函数的变化对应的思想；另一方面要结合函数性质、函数图象的教学,进一步提炼和介绍函数思想方法.

最后,要注意函数思想的应用,用函数思想看问题.数可以看成特殊函数；数的运算可以看成特殊的二元函数；代数式可以容易地被改造成一个函数；数列是特殊的函数；解一元方程就是求一个函数的零点,解三角形化归为一个三角函数的问题；等等.因此,在学习函数概念后,要注意让学生以函数观点去重新审视相关问题.例如,方程f(x)=0就是函数y=f(x)在变化过程中的一个特殊状态,解方程就是求函数的零点,从而对方程的研究（像根的性质、个数、分布范围等）就与对应的函数性质研究联系起来了.再如,求不等式(x)＞0的解集就是考察函数y=f(x)的图象与x轴的位置关系问题,即考虑函数y=f(x)的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围.由于函数具有表现的丰富性、变化的过程性等特点,用函数观点研究方程、不等式,可以引进运动变化、数形结合等思想,这就给方程和不等式的研究开拓了思路和方法．这对理解他们的意义和解决有关问题都是非常有益的.还可以使学生已有的认知结构得到重新组合,在使知识系统化的过程中,加深对函数思想的理解和运用.