作业帮零点定理的证明?如何证明零点定理?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:51:12
零点定理的证明?如何证明零点定理?
零点定理的证明?
如何证明零点定理?
零点定理的证明?如何证明零点定理?
http://course.xznu.edu.cn/sxfx/download/shijian/2006012111.doc
对于一个函数 ，若存在实数 ，使 ,则称 为函数 的零点，又称为方程 的实根．如果函数 为闭区间上的连续函数，那么我们就可以利用连续函数的零点定理来判断函数是否存在零点，同时也可以利用微积分的知识来解决零点个数问题．
一、关于连续函数的零点的相关定理
定理1 （介值定理）设函数 在闭区间 上连续，且 ，若 为介于 、 之间的任何数（ 或 ），则在 内至少存在一点 ，使 ．
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对于一个函数 ，若存在实数 ，使 ,则称 为函数 的零点，又称为方程 的实根．如果函数 为闭区间上的连续函数，那么我们就可以利用连续函数的零点定理来判断函数是否存在零点，同时也可以利用微积分的知识来解决零点个数问题．
一、关于连续函数的零点的相关定理
定理1 （介值定理）设函数 在闭区间 上连续，且 ，若 为介于 、 之间的任何数（ 或 ），则在 内至少存在一点 ，使 ．
定理2 （零点定理）若函数 在闭区间 连续，且 ，则一定存在 使 ．
关于零点定理的证明，有很多种方法．本文在这里介绍3种方法．
证法一 （区间套原理）若 ，则称 为 的异号区间．
按假设 是 的异号区间，记 ．将 平分得 及 两个子区间，显然至少有一个是 的异号区间，任取其中一个异号区间，记作 ．同理，平分 可得一 的异号区间 ．如此下去可得一闭区间套
，
其中每个 为 的异号区间且 ．
根据区间套定理，存在唯一的点 属于一切 ．设 ，则 ， ．从 及 的连续性知：
．
由此可得 ，这表示 在 中至少有一个根 ．
证法二 （确界原理）不妨设 ， ．定义集合 如下：
．
显然，集合 有界、非空，所以必有上确界．令 ，现证明： 且 ．
由 的连续性及 知，存在 ，使得对任意的 ，有 ；再由 知，存在 ，使得对任意的 ，有 ．于是可知
，
即 ．
取 ， ， ，因 ，可以得到 ．
若 ，由 在点 的连续性，存在 ，使得对任意的 ，有 ，这就与 产生矛盾，于是必然有
证法三 （微积分证明）不失普遍性,设 ， ．令
，
则 在 上可导（在 处有右导数 ，在 处有左导数 ），且 ．由于 ，由极限性质知道，存在 满足，使得对任意的 ，有
，
即 ，从而 ．
这表明 不是连续函数 在 上的最大值．同理， 也不是最大值．故 在 上的最大值只能在 中的某一点 处取到．此时 也是极大值点．由 定理知 ，即 ．
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