椭圆 求证长轴顶点与椭圆某点所称的最大角是与短轴顶点所成的点!

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 21:10:31
椭圆 求证长轴顶点与椭圆某点所称的最大角是与短轴顶点所成的点!

椭圆 求证长轴顶点与椭圆某点所称的最大角是与短轴顶点所成的点!
椭圆 求证长轴顶点与椭圆某点所称的最大角是与短轴顶点所成的点!

椭圆 求证长轴顶点与椭圆某点所称的最大角是与短轴顶点所成的点!
长轴顶点分别为A,B,椭圆上任一点为M
要让∠AMB最大也就是要让∠MAB+∠MBA最小
设这两个角为α,β,因为∠AMB必定是钝角,所以α+βb>0,设M点坐标为(x,y),x≠a,
则tanα=|y|/(a+x),tanβ=|y|/(a-x)
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=[|y|/(a+x)+|y|/(a-x)]/[1-y²/(a²-x²)]=2a|y|/(a²-x²-y²)
将x²=a²(1-y²/b²)代入上式得到tan(α+β)=2a|y|/(a²y²/b²-y²)=2a/[(a²/b²-1)|y|]
因为a>b>0,所以a²/b²-1>0,所以上式在|y|最大的时候取最小值,
|y|最大的时候也就是M为短轴顶点的时候,
所以当M是短轴顶点的时候tan(α+β)最小,所以此时α+β最小,所以∠AMB此时最大.证毕.

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