作业帮柯西不等式的证明!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:28:30
柯西不等式的证明!
柯西不等式的证明!
柯西不等式的证明!
二维形式的证明
(a+b)(c+d) (a,b,c,d∈R)
=a·c +b·d+a·d+b·c
=a·c +2abcd+b·d+a·d－2abcd+b·c
=(ac+bd)+(ad－bc)
≥(ac+bd),等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.
三角形式的证明
√(a+b)+√(c+d2)≥√[(a-c)+(b-d)崀
证明：[√(a+b)+√(c+d)]=a+b+c+d+2·√(a+b)·√(c+d)
≥a+b+c+d+2|ac+bd|
≥a+b+c+d+2(ac+bd)
=a+2ac+c+b+2bd+d
=(a+c)+(b+d)
两边开根号即得 √(a+b)+√(c+d)≥√[(a+c)+(b+d)崀
注：| |表示绝对值.
向量形式的证明
令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos
∵cos≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)