等腰梯形周长60cm,底角为60度问梯形各边为多少时候 梯形的面积最大

等腰梯形周长60cm,底角为60度问梯形各边为多少时候 梯形的面积最大
等腰梯形周长60cm,底角为60度问梯形各边为多少时候 梯形的面积最大

等腰梯形周长60cm,底角为60度问梯形各边为多少时候 梯形的面积最大
请想象下梯形的腰水平平移到另一腰形成一个等边三角形,以及上下2条平行线长度等于梯形的上底（不会画图,不好意思）
设等边三角形边长为x,上底=(60-3x)/2 下底=上底+x=(60-x)/2 高=(√3)x/2
所以 面积=(√3)x(30-x)/2
可知x=15时面积最大

做高为辅助线，
设上底为X
斜边为Y
高是二分之根号三Y
则，30度角所对的边为斜边的一半，
下底就是X+2*（Y/2），即X+Y
这样得到
X+（X+Y）+Y+Y=60
2X+3Y=60……A式
梯形面积为（上底+下底）X高/2
S=[X+（X+Y）]X高/2……B式
联立AB式，用二次函数的图像来解。

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做高为辅助线，
设上底为X
斜边为Y
高是二分之根号三Y
则，30度角所对的边为斜边的一半，
下底就是X+2*（Y/2），即X+Y
这样得到
X+（X+Y）+Y+Y=60
2X+3Y=60……A式
梯形面积为（上底+下底）X高/2
S=[X+（X+Y）]X高/2……B式
联立AB式，用二次函数的图像来解。



设腰为a，那么梯形高为a×sin60=√3/2a
上底+下底=60-2a
面积=1/2×（60-2a）×√3/2a=-√3/2a²+15√3a=-√3/2（a-15）²+225√3/2
此为二次函数，二次项系数<0当a=15时，面积有最大值为225√3/2
平方厘米

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设等腰梯形高为h，上低为a，则下底b=a+2(h/√3)=a+2√3h/3
所以梯形面积为S=(a+b)h/2=ah+√3h²/3
又梯形周长为60，所以a+b+2*(2h/√3)=2a+2√3h=60
所以a+√3h=30，可知a=30-√3h
带入面积表达式，得S=h(a+√3h/3)=-2√3h²/3+30h
该题转化为求-2√3h...

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设等腰梯形高为h，上低为a，则下底b=a+2(h/√3)=a+2√3h/3
所以梯形面积为S=(a+b)h/2=ah+√3h²/3
又梯形周长为60，所以a+b+2*(2h/√3)=2a+2√3h=60
所以a+√3h=30，可知a=30-√3h
带入面积表达式，得S=h(a+√3h/3)=-2√3h²/3+30h
该题转化为求-2√3h²/3+30h最大值的问题，
由抛物线图像可知，当h=15√3/2时，抛物线恰在最高点，梯形面积取得最大值，为225√3/2cm²
此时，上低为15/2cm，下底为45/2cm，腰为15cm

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说明：用函数方法。此题梯形周长面积与各边长是有数量关系的。
1，各边关系：
设上底长为acm，下底长为bcm，则腰长为[(b-a)/2]/sin30度=(b-a)cm
2，周长与边关系：
L周长=a+b+2*(b-a)=3b-a=60
所以a=3b-60
3，面积与边关系：
S=(a+b)h/2=...

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说明：用函数方法。此题梯形周长面积与各边长是有数量关系的。
1，各边关系：
设上底长为acm，下底长为bcm，则腰长为[(b-a)/2]/sin30度=(b-a)cm
2，周长与边关系：
L周长=a+b+2*(b-a)=3b-a=60
所以a=3b-60
3，面积与边关系：
S=(a+b)h/2=(a+b)(b-a)sin60度/2
=(3b-60+b)(b-3b+60)根号(3)/4
S=-2根号(3)(b-15)(b-30)
注：此形式可直观看出图像与x轴两个交点，便于发现对称轴。
这是S关于b的二次函数的求最值问题，注意b的范围是20cm开口向下，当b=(15+30)/2=45/2cm时，
S取得最大值=-2根号(3)*(15/2)*(-15/2)=225根号(3)/2(cm2)
此时各边如下，上底15/2cm，下底45/2cm，腰长15cm。
完毕，请批评指正。

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设上底a,下底b，高为h，则面积S＝（a+b）*h/2－－－－－－－等腰梯形面积公式

底角60，辅助线切右侧三角，则切割完的右侧三角的短直角边长＝（b-a）/2，

则长直角边，即h＝（根号3）/2乘以（b-a）/2，即h＝（根号3）（b-a）/4－－－－关系式1，

则斜边，即等腰梯形的腰为2乘以（b-a）/2，即b-a，

因周长60，所以60＝a+b+2*（b-a），整理，得60＝3b-a－－－－关系式2，

将关系式1和关系式2代入等腰梯形面积公式，得S＝（3b-60）*（根号3）*（b+60-3b）/6

整理，

S＝75-（b-25）2

因在实数里，一个数的平方，是不小于零的，所以当b＝25时，S最大，为75平方厘米，此时上底边为15厘米，下底边为25厘米，腰为10厘米。

• 归总：上下底边分别为15cm和25cm，腰为10cm时，面积最大，为75平方厘米！