高数不等式证明

高数不等式证明
高数不等式证明

高数不等式证明
证：
1、设：f(x)=x-arctanx
f'(x)=1-1/(1+x²)
令：f'(x)＞0,即：1-1/(1+x²)＞0
1/(1+x²)＜1
1+x²＞1
x²＞0
解得：x＞0,
有：当x＞0时,f(x)为单调增函数.
f(0)=0-arctan0=0
即：当x＞0时,有f(x)＞0.
故：x-arctanx＞0
即：arctanx＜x
2、设：f(x)=arctanx-x/(1+x²)
f'(x)=(arctanx)'-[x/(1+x²)]'
f'(x)=1/(1+x²)-(1+x²-2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(1+x²-1-x²+2x²)/(1+x²)²
f'(x)=(2x²)/(1+x²)²
可见,当x＞0时,恒有f'(x)＞0
即：当x＞0时,f(x)为单调增函数
f(0)=arctan0-0/(1+0²)=0
因此,当x＞0时,有f(x)＞0.
故：arctanx-x/(1+x²)＞0
即：x/(1+x²)＜arctanx
综上所述：当x＞0时,有：x/(1+x²)＜arctanx＜x
命题成立.
证毕.

构造两个函数，再分别证明在x大于0时：它们是增函数（或即使不是增函数，那么考察它的极小值，只需极小值大于0）、x=0时端点值大于或等于0。满足上述两个条件，题目就证完了。我相信求导公式你肯定会的。

思路：若a构造f(x)=b-a和f(x)=c-b
然后对f(x)求导，可以看到当x>0时，f‘(x)>0说明f(x)是增函数
再证明f(x)的最小值大于0即可。

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