作业帮1的立方+2的立方+3的立方+...
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:02:46
1的立方+2的立方+3的立方+...
1的立方+2的立方+3的立方+...
1的立方+2的立方+3的立方+...
1^3=1^2
1^3+2^3=3^2
1^3+2^3+3^3=6^2
1^3+2^3+3^3+4^3=10^2
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2
...
1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3=[1+2+...+（n-1）+n]^2
=[n(n+1)/2]^2
数学归纳法证明
Sn=1^3+2^3+3^3+……+n^3
Tn=1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 （这个知道吧）
Rn=1+2+3+……+n=n(n+1)/2
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
(n-1)^4-(n-2)^4=4(n-1)^3-6(n-1)^2+4(n-1)-1
……
3^4-2^4=4×3^3-6×3^2+4×3-1
2^4-1^4=4×2^3-6×2^2+4×2-1
这n-1式相加得
n^4-1=4(Sn-1)-6(Tn-1)+4(Rn-1)-(n-1)
整理得
Sn=n^2×(n+1)^2/4
=[n(n+1)/2]^2
1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2
推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*...
全部展开
1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2
推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
收起