作业帮已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:43:30
已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?
已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?
已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?
这个问题貌似只能用求导来做.
首先构建一个用棱锥高h来表示的关于棱锥体积V的函数.
设V为棱锥体积,h为高,s为底面积,a为底面正方形ABCD的边长,点O为正方形对角线交点（中心）
棱锥体积V=1/3sh,其中s=a²；
构建一个三角形,直角边分别为OA和OS（即为高）,斜边为SA.勾股定理 OA²+OS²=SA²
而 OA=a/根号2,OS=h ,SA=2倍根号3
所以 （a/根号）²+（h）²=（2倍根号3）²
简化此等式,代入棱锥体积公式,把a用h替换掉
得到函数 f(h)=V=-2h³+24h,（h＞0,V＞0）问题即转化为求该函数在h取何值时使得V最大值
第二步就是求导了
f'(h)=V'=-6h²+24
h有两个值可以使该导函数为零,即 h= 正或负2倍根号3 时,V'=0,（此处,h负值情况不成立,舍去）也就是说当 h=2倍根号3 时,原函数f(h)=V可以达到最大值最大值
所以答案是当h=2倍根号3时,该四棱锥体积最大.
中间省去了很多计算步骤,如果lz哪里不清楚,欢迎垂询.
设高为x
则底面中心至底边顶点的距离 = 根号(SA^2-x^2) = 根号(12-x^2)
底面边长 = 根号2 * 根号(12-x^2)
底面积 = (底面边长)^2 =2(12-x^2)
体积：f(x) = 1/3 * 2(12-x^2) * x = -2/3 x^3 + 8x
f'(x) = -2x^2+8=-2(x^2-4)
x＞0
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设高为x
则底面中心至底边顶点的距离 = 根号(SA^2-x^2) = 根号(12-x^2)
底面边长 = 根号2 * 根号(12-x^2)
底面积 = (底面边长)^2 =2(12-x^2)
体积：f(x) = 1/3 * 2(12-x^2) * x = -2/3 x^3 + 8x
f'(x) = -2x^2+8=-2(x^2-4)
x＞0
∴0＜x＜2时，x^2-4＜0，f‘(x)＞0，f(x)单调增；x＞2时，x^2-4＞0，f'(x)＜0，f(x)单调减
当x=2时，f(x)有极大值：f(2)=-2/3*2^3 + 8*2 = 32/3
故高为2时体积最大，体积最大值为32/3
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