无穷级数求和 ∑(n^2)/(2^n)n属于1~无穷

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 12:14:15

无穷级数求和 ∑(n^2)/(2^n)n属于1~无穷
无穷级数求和 ∑(n^2)/(2^n)
n属于1~无穷

无穷级数求和 ∑(n^2)/(2^n)n属于1~无穷
∑(n^2)/(2^n)
=∑(n^2) * (1/2)^n
把1/2看成x
则得到幂级数
∑(n^2) * x^n 显然收敛域为x∈[-1,1)
= x *∑(n^2) * x^(n-1)
又因为 ∑ n *x^n =x *∑ n *x^(n-1)= x * (∑ (1-->+∞) x^n)′=x^2/(1-x)
所以∑(n^2) * x^(n-1)=(∑ n *x^n )′= [x^2/(1-x)]′=(2x-x^2)/(1-x)^2
所以∑(n^2) * x^n= x * (2x-x^2)/(1-x)^2=(2x^2-x^3)/(1-x)^2
把x=1/2带入得到:
∑(n^2)/(2^n)=3/2

答案是1/ln2,解当n趋于无穷n2和2n都趋于无穷，根据洛必达法则，可以分别n2和2n求导，有公因数，就剩下常数1/ln2,

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