若f(x)在[a,b]上连续,证明:若f(x)为奇函数,则∫(-a,a)f(x)dx=o

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 20:40:54
若f(x)在[a,b]上连续,证明:若f(x)为奇函数,则∫(-a,a)f(x)dx=o

若f(x)在[a,b]上连续,证明:若f(x)为奇函数,则∫(-a,a)f(x)dx=o
若f(x)在[a,b]上连续,证明:若f(x)为奇函数,则∫(-a,a)f(x)dx=o

若f(x)在[a,b]上连续,证明:若f(x)为奇函数,则∫(-a,a)f(x)dx=o
左边=∫(-a→0)f(x)dx+∫(0→a)f(x)dx=(在第一项令x=-t)∫(a→0)f(-t)d(-t)+∫(0→a)f(x)dx=∫(a→0)f(t)dt+∫(0→a)f(x)dx=-∫(0→a)f(t)dt+∫(0→a)f(x)dx=0

若f(x)为奇函数,有f(-x)=f(x)
左边=∫(-a,0)f(x)dx+∫(0,a)f(x)dx(第一项中令x=-t)
=∫(a,0)f(-t)(-dt)+∫(0,a)f(x)dx(由于f(-t)=-f(t)
=∫(a,0)f(t)(dt)+∫(0,a)f(x)dx,积分与“t"或”x"无关
=0