已知函数f（x）在R上有定义,且满足f（x）＋xf（1－x）＝x. ①求f（x）解析式 ②求值域

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 09:10:40

已知函数f（x）在R上有定义,且满足f（x）＋xf（1－x）＝x. ①求f（x）解析式 ②求值域
已知函数f（x）在R上有定义,且满足f（x）＋xf（1－x）＝x. ①求f（x）解析式 ②求值域

已知函数f（x）在R上有定义,且满足f（x）＋xf（1－x）＝x. ①求f（x）解析式 ②求值域
（1）由f（x）＋xf（1－x）＝x,用1-x换x,得
f（1-x）＋(1-x)f（x）＝1-x
联立,代入得f（x）＝x2/x2-x+1(x2是x方）
（2）解析式分子分母同除以x2,再把分母配方,易得值域为[0,4/3]

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f（x）在R上有定义，且满足f（x）＋xf（1－x）＝x ①
将x换成1-x等式仍成立
∴f(1-x)+(1-x)f(x)=1-x
∴f(1-x)=1-x-(1-x)f(x)代入①
∴f(x)+x[(1-x)-(1-x)f(x)]=x
∴f(x)-x(1-x)f(x)+x-x²=x
∴(x²-x+1)f(x)=x²
∵x²-x+1=（x-1/2)²+3/4>0
∴f(x)=x²/(x²-x+1)
(2)
x=0时，f(x)=0
x≠0时，
f(x)=1/(1-1/x+1/x²)
=1/[3/4+(1/x+1/2)²]
∵3/4+(1/x+1/2)²≥3/4
∴0<1/[3/4+(1/x+1/2)²]≤4/3
∴f(x)的值域为[0,4/3]
参考http://58.130.5.100//

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因为 f(x)+xf(1-x)=x， …………①
上式中把x用1-x替换，得：
f(1-x)+(1-x)*f(x)=1-x， …………②
上式两边同时乘以-x得：
-x*f(1-x)-x(1-x)*f(x)=x^2-x， …………③
①、③相加：(x^2-x+1)*f(x)=x^2，
...

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因为 f(x)+xf(1-x)=x， …………①
上式中把x用1-x替换，得：
f(1-x)+(1-x)*f(x)=1-x， …………②
上式两边同时乘以-x得：
-x*f(1-x)-x(1-x)*f(x)=x^2-x， …………③
①、③相加：(x^2-x+1)*f(x)=x^2，
因为(x^2-x+1)=(x-1/2)^2+3/4>0对∀x∈R成立，
所以f(x)=x^2/(x^2-x+1)。

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