作业帮一道很基础的高等数学证明题证明这个不等式：|arctan a - arctan b|
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 20:02:43
一道很基础的高等数学证明题证明这个不等式：|arctan a - arctan b|
一道很基础的高等数学证明题
证明这个不等式：|arctan a - arctan b|
一道很基础的高等数学证明题证明这个不等式：|arctan a - arctan b|
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b],使得 f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
题目中： 涉及的函数 y=arctanx 满足中值定理的条件
那么： f(a)-f(b)=f'(ξ)*(a-b) =f'(ξ)(a-b)
arctan a - arctan b=f'(ξ)(a-b)
【备注：关于函数y=arctanx 的求导】
y=arctanx, 那么 x=tany
对X求导： 1=(tany)'·y'=(siny/cosy)'·y'={[(siny)'·cosy-siny·(cosy)']/(cosy)^2} · y'
1=[(cosy)^2+(siny)^2]/(cosy)^2 · y'
1=(1/cosy)^2 · y'
y'=(cosy)^2 将y=arctanx 代入 既为导数 y'=[cos(arctanx)]^2
转换一下：y'=(cosy)^2
=(cosy)^2/[(siny)^2+(cosy)^2]
=1/[(tany)^2+1] 【分子分母同时除(cosy)^2】
将y=arctanx 代入
y'=1/{[tan(arctanx)]^2+1}
=1/(1+x^2)
既y=arctanx 求导： y'=1/(1+x^2)
【回到题目中】： arctan a - arctan b=f'(ξ)(a-b)
那么,：|arctan a - arctan b|=|f'(ξ)|·|a-b|
=1/(1+ξ^2)|a-b| 【1/(1+ξ^2) 恒大于 0】
1/(1+ξ^2) 明显是 ≤ 1 的
因此1/(1+ξ^2)|a-b|≤|a-b|
综上所述：|arctan a - arctan b|