作业帮高二数学不等式的一题证明题已知a b c是不全相等的正数,求证:2(a^3+b^3+c^3)>a^2(a+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)注:a^3是a的3次方的意思,其他同理题目错了点改下：a^2(a+b）中的a+b是b+c
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 09:10:27
高二数学不等式的一题证明题已知a b c是不全相等的正数,求证:2(a^3+b^3+c^3)>a^2(a+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)注:a^3是a的3次方的意思,其他同理题目错了点改下：a^2(a+b）中的a+b是b+c
高二数学不等式的一题证明题
已知a b c是不全相等的正数,求证:
2(a^3+b^3+c^3)>a^2(a+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
注:a^3是a的3次方的意思,其他同理
题目错了点改下：a^2(a+b）中的a+b是b+c
高二数学不等式的一题证明题已知a b c是不全相等的正数,求证:2(a^3+b^3+c^3)>a^2(a+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)注:a^3是a的3次方的意思,其他同理题目错了点改下：a^2(a+b）中的a+b是b+c
即2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)
因为a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2)
又 a^2+b^2≥2ab
所以a^3+b^3≥ab(a+b)
a^3+c^3≥ac(a+c)
b^3+c^3≥bc(b+c)
所以2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)成立
方法二：
a^3+a^3+b^3>=3a^2b
a^3+a^3+c^3>=3a^2c
b^3+b^3+a^3>=3b^2a
b^3+b^3+c^3>=3b^2c
c^3+c^3+a^3>=3c^2a
c^3+c^3+b^3>=3c^2b
各式相加得到
6(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)
所以2(a^3+b^3+c^3)>=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
方法三：
2(a^3+b^3+c^3)-[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]
=a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b)
=(a^2-b^2)(a-b)+(c^2-a^2)(c-a)+(b^2-c^2)(b-c)
=(a+b)(a-b)^2+(c+a)(c-a)^2+(b+c)(b-c)^2≥0
=>：2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)