一道高中数学不等式证明题.设a,b,c>0,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 05:11:34
一道高中数学不等式证明题.设a,b,c>0,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c)

一道高中数学不等式证明题.设a,b,c>0,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c)
一道高中数学不等式证明题.
设a,b,c>0,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c)

一道高中数学不等式证明题.设a,b,c>0,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c)
由不等式公式知:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
又 2(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)][(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]
>=9
a,b,c>0
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c)

证明:由柯西不等式可知[(a+b)+(b+c)+(c+a)]×[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)²=9.即2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥9.====>1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)≥9/[2(a+b+c)]