已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且f（x）最小值时-1,函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称.（1）求f(x)和g(x)的解析式（2）若h(x)=f(x)-mg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数m的取值范围

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 11:42:57

已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且f（x）最小值时-1,函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称.（1）求f(x)和g(x)的解析式（2）若h(x)=f(x)-mg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数m的取值范围
已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且f（x）最小值时-1,函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称.
（1）求f(x)和g(x)的解析式
（2）若h(x)=f(x)-mg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数m的取值范围

已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且f（x）最小值时-1,函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称.（1）求f(x)和g(x)的解析式（2）若h(x)=f(x)-mg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数m的取值范围
1）
设二次函数f(x)=ax²+bx+c,将零点0和-2代入可得 c=0 ,4a-2b+c=0 ,又f(x)最小值时-1,即是顶点的最值,其横坐标为两零点的中点 x=-1,
代入可得 a-b+c=-1 ,联立三式可得 a=1 ,b=2 ,c=0 ,所以
f(x)=x²+2x 下面求g(x):
设f(x)上任意一点为(x,y),则与该点关于原点对称的点为（-x,-y）,代入f(x)中得 -y=(-x)²+2(-x)=x²-2x ,即 y=-x²+2x
所以 g(x)=-x²+2x
综上f(x)=x²+2x,g(x)=-x²+2x
2）
h(x)=f(x)-mg（x)=(1+m)x^2+2(1-m)x在区间[-1,1]上是增函数
而h(x)的函数对称轴为x=(m-1)/(1+m)
所以若1+m>0,则（m-1)/(1+m)

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f（x）有两个零点，则f（x）=ax（x+2）=a（x+1）^2-a
且f（x）最小值时-1,所以a=1
所以f（x）=x（x+2）
函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称，则g（x）=-f（-x）=x（2-x）
2）、h（x）=f(x)-mg(x)=x（x+2）-mx（2-x）
=（1+m）x^2+(2-2m)x
=（1+m）〔（x-（m-1）/（m+1）〕^2-(m-1)^2/(m+1)
区间[-1,1]上是增函数
则，
A、m>-1时，对称轴x=（m-1）/（m+1）≤-1，得-1B、m=-1时，h（x）=4x则在〔-1，1〕是增函数
C、m<-1时，对称轴x=（m-1）/（m+1）≥1，得m<-1
所以m满足条件的取值范围是（-∞，0〕

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